Frost's Blog
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Codingame本周谜题「折纸曲线」解
2018-02-11

Codingame.com Puzzle of the Week: Paper folding curve

题目简述#

一张纸,一直保持向同一个方向对折,然后将折痕展成直角。从侧面看去,纸的折角会构成一个折线。

从纸的一端出发到另一端,每碰到一个折角,用 1 表示向左折,0 表示向右折,则所有折角会构成一个 1 与 0 组成的序列,称为折叠序列。比如折一次是 1,折两次是 110,依次类推。

给定折叠次数,要求输出折叠序列中自 s 至 e 号元素(0-index,均包含)。

朴素解法#

首先,不妨假定我们每次都向左对折,因为如果是向右,我们可以从另一侧观察,则还是向左对折。然后我们来研究下序列的特点。

  1. 对折nn次将产生2n2^n小段的纸,2n12^n-1个折痕。也说是说序列长度为2n12^n-1,不妨在第 1 位补个 1,序列变成1-index,共有2n2^n个元素。
  2. 考察对折点,对折点之前的纸和对折点之后的纸走向完全一致,即序列关于对折点对称,但由于先进方向相反,原来是向左的对称之后变成向右。所以准确说应该是序列关于对折点反向对称
  3. ** 序列与对折次数无关**。观察上图,折叠 2 次的折痕是 ①②③,而再折叠一次,序列 ①②③④⑤⑥⑦ 的前三项将与折叠两次的一致。就好像把纸延长了相同的长度,再把后续的折痕加在原序列后面。所以题目中「给定折叠次数」是用不上的。

由 1 及题设,第2n2^n个元素值恒为 1。由 1+2,序列的对折点所在是其实是第2n12^{n-1}个元素。又由 2+3,序列关于2n12^{n-1}号元素对称,左半部分又关于2n22^{n-2}号元素对称,依次类推。转换成数学语言,用f(i)f(i)表示序列中第ii号元素的值,则:

f(2n)=1,n=0,1,f(2n+x)=f(2nx),0<x<2n,n>1\begin{equation} \begin{split} f(2^n)=1,\,&n=0,1,\ldots \\\\ f(2^n+x)=\sim f(2^n-x),\,&0<x<2^n,\,n>1 \end{split} \end{equation}

其中”~“表示将值取反。所以如果我们已经得到了序列前2n2^n项的值,我们就能根据对称性得到2n+12^{n+1}项的值,写成伪代码如下:

// 写出前7项
result = '1101100'
while len(result) < e + 1
    result += '1' + reverse_and_flip(result)
end
print(result[s:e])

时间复杂度为8+16+=O(N)8+16+\cdots=O(N),其中N=2nN=2^n为全序列长度。提交运行,前面都能 PASS,但当 s, e 都非常大时挂了,果然还是太朴素。

优化解法#

我一直在思考:序列某个元素的值由前面的某个值得到,而前面的某个值又由更前面的某个值得到,最后的种子其实就是最开始的几个元素。我们浪费了很多时间在生成不需要输出的结果上。本能觉得,对某个特定元素,可能可以仅通过它的序号,在O(1)O(1)的复杂度上得到值。说干就干,继续找找规律。由上述的公式,我进一步发展,当x2n1x\neq2^{n-1}时,

f(2n+x)=f(2nx)=f(2n1+(2n1x))=f(2n1(2n1x))=f(x)\begin{equation} \begin{split} f(2^n+x)&=\sim f(2^n-x) \\\\ &=\sim f(2^{n-1}+(2^{n-1}-x)) \\\\ &=f(2^{n-1}-(2^{n-1}-x))=f(x) \end{split} \end{equation}

x=2n1x=2^{n-1}时,

f(2n+x)=f(2n1)=0f(2^n+x)=\sim f(2^{n-1})=0

Exciting! 如果我们把元素序号用二进制表示的话,通过以上方法,我们就能使序号快速缩小(去掉首位的 1)到一个很小的数,进而得到它的值。具体地:

  • 数字除去末尾的 0 后,如果是以连续的 1 结尾,则值为 0
  • 否则,值为 1

伪代码如下:

result = ''
// 修正0 - index到1 - index
for i in [s + 1:e + 1]
    // i是2的幂,快速返回
	if i & (i - 1) == 0
        result += '1'
            break
	end
    // 去掉末位的0
    while i & 1 == 0
        i >>= 1
    end
    if i & 3 == 3   // 11结尾
        result += '0'
	else            // 01结尾
        result += '1'
    end
end

print(result)

时间复杂度近似为O(es)O(e-s)

一开始从一个实际问题出发,最后得出了一个简洁的数学表达,果然是代码令我愉快。完整代码(Python)见
https://github.com/frostming/Codingame/blob/master/Puzzle-of-the-Week/paper_folding_curve.py

Codingame本周谜题「折纸曲线」解
https://frostming.com/2018/02-11/paper-folding-curve/
作者
Frost Ming
发布于
2018-02-11
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0