概率也会欺骗你

有一道包含四个选项的单选题，你发现你完全不知道该怎么做。在不考虑「三短一长选一长」「遇到不会就选 C」的玄学答题法时，你有一个机会去掉一个错误选项，然后就只能随机瞎选。请问这时你选到正确答案的概率是多少？

老师，这道题我会答，是 1/3！

恭喜你答对了！没去掉错误选项时，答对概率是 1/4，去掉就只剩三个选项了，所以是 1/3。

规则变一下，你先在四个选项中选一个，然后老师在剩下的三个选项中去掉一个错误答案，请问你要不要更改答案？

这就要看改与不改，正确的概率分别是多少了。

• 如果不改，因为老师总能去掉一个错误答案，这件事有没有对你没有任何影响（因为你没改答案）。所以正确率仍为 1/4
• 如果改，没去掉选项前剩下选项的正确率之和为 3/4，去掉一个错误选项，其他两个选项的正确率为： 3/4 ÷ 2 = 3/8。所以改答案更优。

哈？

不懂没关系，我们换个极端的情况，有 100 个选项，你选了 1 个，老师去掉了错误的 98 个，问你要不要改成没去掉的那一个？

老师你当我傻比吗？你没去掉那一个，正确率是 99%！当然要改。

一个是先去掉再选，一个是先选再去掉，这里面有什么区别？

有区别，老师去掉错误答案时，是告诉你一个信息：去掉的选项，是 100% 错误的。这样你的概率空间就缩小了。100 个选项情况下，你选某一个时，概率空间仍是完整的，100 选 1。你选的正确率是 1%，剩下的 99 个选项平分 99% 正确率（每个 1%）。老师去掉了 9 8 个错误选项，是告诉你这 98 个选项的正确率都是 0%。所以那个没去掉的选项就独得 99% 正确率。

**有没有信息，能影响一件事情的概率分布。**比如一个 6 位数的密码，你什么信息也不知道，和你已知前 5 位数，猜对的概率有天壤之别。再看下一题：

1. 已知老王有两个孩子，老大是男孩，请问老二也是男孩的概率是多少？
2. 已知老王有两个孩子，其中有一个是男孩，请问另一个也是男孩的概率是多少？
3. 已知老王有两个孩子，老大是周二出生的男孩，请问老二也是男孩的概率是多少？
4. 已知老王有两个孩子，其中有一个是周二出生的男孩，请问另一个也是男孩的概率是多少？

冷静！先把刀放下，我先揭晓一下正确答案：1/2, 1/3, 1/2, 13/27。

第一题，很简单，独立同分布，老大是男是女不影响老二的性别。1/2

第二题和第一题区别在哪呢？想像一下出题人出第一题的时候，他只需要看老大的性别就可以跑来问你了，可能老二他见都没见到。但第二题呢，他可能观察了两个孩子的性别，然后告诉你其中有一个是男孩，问你另一个的性别。我们不知道这孩子是男是女，也不知道他是老大老二，它的概率空间比第一题要大了。有可能这个孩子是老大，是男孩，那老二是男是女都无所谓（根据题设）。也有可能这个孩子是老二，是女孩，那老大就必须是男孩。所以我们需要列出两个孩子性别的联合分布：男男，男女，女男，女女。女女这个情况已经被观察者去掉了，所以剩下三种情况，另一个也是男孩（男男）的概率是 1/3。

当然，第一题也可以列联合分布来做，去掉的是（女男、女女），剩下两种情况，男男的概率是 1/2。可以发现，给定其中一个孩子的性别，另一个孩子性别的分布没有变化，仍是 1/2，这就是独立分布的意义。

第三题，同样，出题人没有给出任何第二个孩子的信息，第二个孩子的性别是独立的， 1/2。就算你说破大天，说老大是大队长三好学生钢琴十级，仍然没有 P 用。老二是男孩子的概率还是 1/2。

第四题，出题人问的是另一个孩子的性别，又没问星期几出生，你告诉我老大是周二出生有什么用，Who TM cares? No, no, no（摇手指）。这就是多余的信息起到的微妙的作用。出题人也要观察两个孩子，问他娘，老王的媳妇他们是周几出生的，才能告诉你这个信息。有三个维度：排行、性别、周几出生，概率空间又扩大了。我们用 B 表示男孩子，G 表示女孩，周几出生用 数字 表示，比如 2B 是周二出生的男孩。列出所有包含 2B 的情况：

| 2B 1B | 2B 2B | 2B 3B | 2B 4B | 2B 5B | 2B 6B | 2B 7B | | 2B 1G | 2B 2G | 2B 3G | 2B 4G | 2B 5G | 2B 6G | 2B 7G | | 1G 2B | 2G 2B | 3G 2B | 4G 2B | 5G 2B | 6G 2B | 7G 2B | | 1B 2B | 3B 2B | 4B 2B | 5B 2B | 6B 2B | 7B 2B |

其中两个男孩的情况（第一行和最后一行）占总数的 13/27，略小于 1/2。可以想像，条件给的越精确，这个数会越接近 1/2。

现在大家都喜欢把「薛定谔的猫」当段子讲，其实它的原理跟上面的例子一样：**因为我们的观察，获得了信息，导致了概率分布的改变。**原来是一半生一半死，一观察，就变成 100% 的生或死了。