Codingame本周谜题「折纸曲线」解

Codingame.com Puzzle of the Week: Paper folding curve

题目简述#

一张纸，一直保持向同一个方向对折，然后将折痕展成直角。从侧面看去，纸的折角会构成一个折线。
从纸的一端出发到另一端，每碰到一个折角，用 1 表示向左折，0 表示向右折，则所有折角会构成一个 1 与 0 组成的序列，称为折叠序列。比如折一次是 1，折两次是 110，依次类推。
给定折叠次数，要求输出折叠序列中自 s 至 e 号元素（0-index，均包含）。

朴素解法#

首先，不妨假定我们每次都向左对折，因为如果是向右，我们可以从另一侧观察，则还是向左对折。然后我们来研究下序列的特点。

对折 $n$ 次将产生 $2^n$ 小段的纸， $2^n-1$ 个折痕。也说是说序列长度为 $2^n-1$ ，不妨在第 1 位补个 1，序列变成1-index，共有 $2^n$ 个元素。
考察对折点，对折点之前的纸和对折点之后的纸走向完全一致，即序列关于对折点对称，但由于先进方向相反，原来是向左的对称之后变成向右。所以准确说应该是序列关于对折点反向对称
** 序列与对折次数无关**。观察上图，折叠 2 次的折痕是 ①②③，而再折叠一次，序列 ①②③④⑤⑥⑦ 的前三项将与折叠两次的一致。就好像把纸延长了相同的长度，再把后续的折痕加在原序列后面。所以题目中「给定折叠次数」是用不上的。

由 1 及题设，第 $2^n$ 个元素值恒为 1。由 1+2，序列的对折点所在是其实是第 $2^{n-1}$ 个元素。又由 2+3，序列关于 $2^{n-1}$ 号元素对称，左半部分又关于 $2^{n-2}$ 号元素对称，依次类推。转换成数学语言，用 $f(i)$ 表示序列中第 $i$ 号元素的值，则：

\begin{equation} \begin{split} f(2^n)=1,\,&n=0,1,\ldots \\\\ f(2^n+x)=\sim f(2^n-x),\,&0<x<2^n,\,n>1 \end{split} \end{equation}

其中”~“表示将值取反。所以如果我们已经得到了序列前 $2^n$ 项的值，我们就能根据对称性得到 $2^{n+1}$ 项的值，写成伪代码如下：

// 写出前7项
result = '1101100'
while len(result) < e + 1
    result += '1' + reverse_and_flip(result)
end
print(result[s:e])

时间复杂度为 $8+16+\cdots=O(N)$ ，其中 $N=2^n$ 为全序列长度。提交运行，前面都能 PASS，但当 s, e 都非常大时挂了，果然还是太朴素。

优化解法#

我一直在思考：序列某个元素的值由前面的某个值得到，而前面的某个值又由更前面的某个值得到，最后的种子其实就是最开始的几个元素。我们浪费了很多时间在生成不需要输出的结果上。本能觉得，对某个特定元素，可能可以仅通过它的序号，在 $O(1)$ 的复杂度上得到值。说干就干，继续找找规律。由上述的公式，我进一步发展，当 $x\neq2^{n-1}$ 时，

\begin{equation} \begin{split} f(2^n+x)&=\sim f(2^n-x) \\\\ &=\sim f(2^{n-1}+(2^{n-1}-x)) \\\\ &=f(2^{n-1}-(2^{n-1}-x))=f(x) \end{split} \end{equation}

当 $x=2^{n-1}$ 时，

$f(2^n+x)=\sim f(2^{n-1})=0$

Exciting! 如果我们把元素序号用二进制表示的话，通过以上方法，我们就能使序号快速缩小（去掉首位的 1）到一个很小的数，进而得到它的值。具体地：

数字除去末尾的 0 后，如果是以连续的 1 结尾，则值为 0
否则，值为 1

伪代码如下：

result = ''
// 修正0 - index到1 - index
for i in [s + 1:e + 1]
    // i是2的幂，快速返回
	if i & (i - 1) == 0
        result += '1'
            break
	end
    // 去掉末位的0
    while i & 1 == 0
        i >>= 1
    end
    if i & 3 == 3   // 11结尾
        result += '0'
	else            // 01结尾
        result += '1'
    end
end

print(result)

时间复杂度近似为 $O(e-s)$ 。

一开始从一个实际问题出发，最后得出了一个简洁的数学表达，果然是代码令我愉快。完整代码(Python)见
https://github.com/frostming/Codingame/blob/master/Puzzle-of-the-Week/paper_folding_curve.py